¿Por qué hay deformaciones en los mapas? Todos los que se hicieron esta pregunta, y hayan visto algún planisferio tradicional, habrán observado que Groenlandia y África parecen ser del mismo tamaño, cuando en realidad África es bastante más grande. Este tipo de distorsión es común en la cartografía y es una consecuencia que se produce al querer representar la Tierra en el plano. Incluso los mapas que mantienen las proporciones de las superficies, presentan alteraciones de sus formas.
Al hacer un mapa se puede decidir por conservar las proporciones entre áreas (en ese caso se lo conoce como mapa equivalente o equiárea) o por conservar su forma (mapa conforme). Pero nunca se pueden conservar ambas características. Si se lograra hacer eso, se obtendría el mapa perfecto.
¿Por qué no se puede conseguir el mapa perfecto? Para responder a ello, en primer lugar se debe definir lo que es un mapa. Un mapa es una representación de un sector de la superficie de la Tierra en un plano, como por ejemplo un papel. Por otro lado se encuentra la Tierra que, a pesar de su forma irregular, se aproxima bastante bien a una esfera. Entonces todo se reduce a trasladar, sin alterar las medidas, los puntos de la esfera a un plano. ¿Cuál es la ventaja de pensarlo así? Que tanto el plano como la esfera son superficies que están bien descriptas en lenguaje matemático y se pueden usar para llegar a distintas conclusiones.
Primero vamos a convencernos de algo: es imposible el mapa perfecto. Si fuera así cualquier figura sobre la superficie de la Tierra podría mapearse con la misma forma (o sea con los mismos ángulos) y su mismo tamaño. Para comprender tal afirmación construyamos el siguiente triángulo esférico: Nos paramos en el Polo Sur, caminamos por algún meridiano hasta llegar al Ecuador, luego caminamos por el Ecuador hacia el Oeste, cualquier distancia, y volvemos al Polo caminando por el meridiano del lugar. Este triángulo esférico tiene dos ángulos rectos y un ángulo mayor a cero, por lo tanto su suma es estrictamente mayor a 180°. Su imagen en el mapa papel debería ser un triángulo que conserve dichos ángulos, por lo que sus ángulos interiores deberían sumar lo mismo, o sea una cantidad estrictamente mayor a 180°, sin embargo eso no es posible, ya que la suma de los ángulos de todo triángulo plano suma exactamente 180°. (Gráfico 1)
Entonces, si la esfera no es desarrollable en un plano ¿qué superficies sí lo son? De modo intuitivo se puede pensar en figuras como pirámides. cubos o cualquier otro cuerpo de caras planas, sin embargo éstas no son las únicas. Si se realizan una serie de formas geométricas en un papel - figuras como un triángulo, un cuadrado, etc. - y luego se curva el mismo suavemente hasta obtener un cilindro se observa que no hay deformaciones. Esto permite afirmar que tanto el cilindro como el cono son superficies desarrollables. (Gráfico 2)
Por lo tanto la transformación de una superficie en un plano no depende de si sus caras son planas o curvas. Entonces, si existen superficies curvas a las cuales se las puede aplanar ¿por qué no podemos con la esfera? Bueno, primero aclaramos algunos conceptos:
¿Qué es una curva?
Una curva se puede pensar como una trayectoria de algún cuerpo en movimiento (como una pelota, un insecto o un auto). Es un concepto unidimensional donde cada curva tiene ciertas características, como su longitud o su curvatura. Uno esperaría que la misma sea una medida de como se “dobla” algo, y efectivamente así es ¿pero cómo se puede medir? Una opción es aprovechar que si la curva es suave - o sea que no tiene ningún punto en donde se quiebre, ni donde cambie de dirección bruscamente - , entonces cada punto de ella tiene un vector tangente (una flecha que toca en un solo punto a la curva), dicho vector en general no es constante, entre otras cosas puede cambiar su dirección, por lo tanto es una buena decisión definir a la curvatura como una medida de la variación de la dirección del vector tangente a la curva en cada punto. Observemos que si nuestra curva es una recta, el vector tangente en cada punto se mantiene igual, y por lo tanto su curvatura es cero (ya que si se mantiene igual, la variación es nula). Mientras que en una circunferencia, el vector tangente varía siempre igual, por lo que su curvatura es constante y distinta de cero.
Ahora tenemos que llevar estos conceptos a una superficie como la esfera. Pero ¿qué es una superficie?
¿Qué es una superficie?
Así como a una curva la percibimos como una trayectoria, a una superficie la podemos imaginar como a una sábana. Es una noción bidimensional, que tiene área pero no volumen. Ahora bien esta superficie, que puede ser cerrada y suave como el caso de la cara externa de una esfera, contiene a un montón de curvas suaves. Y ya que cada una de ellas tiene definida su curvatura, podemos definir la de la superficie a partir de las curvas que la componen. Una forma de hacerlo es elegir un punto de la superficie cualquiera, y seccionar la superficie con planos perpendiculares a su plano tangente. De esta forma la intersección de cada plano con la superficie nos da una familia de curvas, que en general tienen curvaturas distintas. Entonces nos quedamos con el valor máximo y mínimo, estos valores son conocidos como curvaturas principales, y las direcciones en que se alcanzan son conocidas como direcciones principales. (Gráfico 3)
Resulta que el producto de estos valores máximos y mínimos, nos da una nueva magnitud que se conoce como Curvatura de Gauss. En la obra Disquisitiones generales circa superficies curvas Gauss demostró lo que hoy se conoce como Teorema Egregium de Gauss. Allí muestra que la Curvatura de Gauss es una propiedad intrínseca de cada superficie y que para poder transformar una en otra es necesario que tengan la misma Curvatura. Por ejemplo consideremos un plano y un cilindro. Por el lado del plano, sus direcciones principales tienen curvatura cero, luego su producto da cero y de ahí se deduce que la curvatura de Gauss de un plano es cero. Y por el lado del cilindro, una de las direcciones principales tiene curvatura cero, por lo tanto sin importar cuanto valga la curvatura de la otra dirección principal, su producto va a ser cero. Y luego como ambas superficies tienen igual Curvatura de Gauss, se podría desarrollar el cilindro en un plano . (Gráfico 4)
Veamos ahora que sucede con la esfera y el plano. Ya sabemos que el plano tiene curvatura de Gauss igual a cero. Mientras que si miramos las direcciones principales de una esfera, vemos que las curvas definidas son circunferencias iguales. Y ya observamos antes que la curvatura de una circunferencia es constante y distinta de cero, por lo que su producto es constante y distinto de cero, por lo que la curvatura de Gauss de una esfera es constante y distinta de cero.
Y aquí al fin llegamos al fondo de la cuestión, resulta que la esfera y el plano tienen curvaturas de Gauss distintas en todos sus puntos. Y por eso no vamos a poder hacer nunca un mapa perfecto, porque simplemente la esfera y el plano son superficies esencialmente distintas y que no se puede desarrollar una en la otra.
Por lo tanto a la hora de hacer un mapa, siempre hay que tener en cuenta cual va a ser el fin del mismo y en base a eso elegir el método que menos distorsione la información relevante para dicho objetivo.
Fuente: IGN.gob.ar
Instituto Geográfico Nacional
Autor
Matías Zylbersztejn
Departamento de Cartografía de Imagen
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